102學測數學單選第4題詳解

因為各選項資料的迴歸直線皆相同且為負相關，所以設迴歸直線為 $y = mx + k$，其中斜率 $m < 0$ 為常數。 根據迴歸直線的斜率公式： $$m = r \frac{\sigma_y}{\sigma_x},$$ 其中 $r$ 為相關係數，$\sigma_x, \sigma_y$ 分別為 $x$ 與 $y$ 的標準差。 因為各選項中 $x$ 的數據皆為 $\{2, 3, 5\}$，所以 $\sigma_x$ 為常數。又斜率 $m$ 亦相同，整理得： $$r = m \frac{\sigma_x}{\sigma_y}.$$ 因為 $m < 0$，若要使相關係數 $r$ 最小（即負得最多，絕對值最大），則 $y$ 的標準差 $\sigma_y$ 必須最小。 計算各選項 $y$ 的數據分佈（其平均數皆為 $5$）： $(1)$ $y \in \{13, 1, 1\}$，離差平方和為： $$(13-5)^2 + (1-5)^2 + (1-5)^2 = 64 + 16 + 16 = 96.$$ $(2)$ $y \in \{10, 3, 2\}$，離差平方和為： $$(10-5)^2 + (3-5)^2 + (2-5)^2 = 25 + 4 + 9 = 38.$$ $(3)$ $y \in \{7, 5, 3\}$，離差平方和為： $$(7-5)^2 + (5-5)^2 + (3-5)^2 = 4 + 0 + 4 = 8.$$ $(4)$ $y \in \{9, 1, 5\}$，離差平方和為： $$(9-5)^2 + (1-5)^2 + (5-5)^2 = 16 + 16 + 0 = 32.$$ $(5)$ $y \in \{7, 4, 4\}$，離差平方和為： $$(7-5)^2 + (4-5)^2 + (4-5)^2 = 4 + 1 + 1 = 6.$$ 選項 $(5)$ 的離差平方和最小，所以其標準差 $\sigma_y$ 最小，對應的相關係數 $r$ 最小，故選 $(5)$。