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110_07A_q05
110 指考數學甲 第 5 題
📅 110 年
📝 指考數學甲
第 5 題
題型：多選
課綱：108課綱
假設 $f(x)$ 為五次實係數多項式，且 $f(x)$ 除以 $x^n-1$ 的餘式為 $r_n(x)$，$n$ 是正整數。試選出正確的選項。
$r_1(x)=f(1)$
$r_2(x)$ 是一次實係數多項式
$r_4(x)$ 除以 $x^2-1$ 所得的餘式等於 $r_2(x)$
$r_5(x)=r_6(x)$
若 $f(-x)=-f(x)$，則 $r_3(-x)=-r_3(x)$
多項式
多項式函數與運算
解題手法
公式代入
〔AI 推測〕
答案
$(1)(3)$
詳解
由餘式定理，$r_1(x)=f(1)$，故 $(1)$ 正確。因 $x^2-1$ 整除 $x^4-1$，所以 $f$ 與 $r_4$ 對模 $x^2-1$ 同餘，故 $r_4$ 除以 $x^2-1$ 的餘式等於 $r_2(x)$，$(3)$ 正確。$(2)$ 不保證餘式恰為一次；$(4)$ 不必然成立；取 $f(x)=x^5$ 時 $r_3(x)=x^2$，可知 $(5)$ 不必然成立。
題目來源：
大學入學考試中心公開試題。
解析狀態：
本解析由 AI 輔助產出，未經人工審核，非官方詳解，僅供學習參考。如與官方公告不同，請以官方公告為準。