107學測數學多選第9題詳解

設 $f(x) = (x^2 - 1)Q(x) + (2x + 1)$，其中 $Q(x)$ 為除法之商式。 選項 $(1)$：$f(0) = (0 - 1)Q(0) + 1 = 1 - Q(0)$。因為 $Q(0)$ 未知，所以 $f(0)$ 不一定等於 $1$。 選項 $(2)$：$f(1) = (1^2 - 1)Q(1) + (2 \times 1 + 1) = 0 + 3 = 3$。因為 $x = 1$ 時 $x^2 - 1 = 0$，所以 $f(1)$ 恆等於 $3$。（正確） 選項 $(3)$：若取 $Q(x) = 0$，則 $f(x) = 2x + 1$ 為一次式。因為除式為二次，商式可取零多項式（此時被除式次數低於除式），所以 $f(x)$ 有可能為一次式。（正確） 選項 $(4)$：若 $f(x) = 4x^4 + 2x^2 - 3$，則 $f(1) = 4 + 2 - 3 = 3$，$f(-1) = 4 + 2 - 3 = 3$。但由餘式條件知 $f(-1) = 2(-1) + 1 = -1$。因為 $3 \neq -1$，所以 $f(x)$ 不可能為此式。 選項 $(5)$：若 $f(x) = 4x^4 + 2x^3 - 3$，則 $f(1) = 4 + 2 - 3 = 3$，$f(-1) = 4(-1)^4 + 2(-1)^3 - 3 = 4 - 2 - 3 = -1$。因為 $f(1) = 3$ 且 $f(-1) = -1$ 皆符合餘式條件，所以 $f(x)$ 有可能為此式。（正確） 故選 $(2)(3)(5)$。