設多項式 $f(x)$ 的除法關係式為： $$f(x) = (x-5)(x-6)^2 Q(x) + 5x^2 + 6x + 7$$ 其中 $Q(x)$ 為一未知的實係數商式。 我們逐一分析各選項： 1. **選項 $(1)$**： 代入 $x=0$ 可得： $$f(0) = (0-5)(0-6)^2 Q(0) + 5(0)^2 + 6(0) + 7 = -180 Q(0) + 7$$ 由於商式值 $Q(0)$ 是未知的，故我們**無法**求得 $f(0)$ 的確切值。本選項錯誤。 2. **選項 $(2)$**： 代入 $x=11$ 可得： $$f(11) = (11-5)(11-6)^2 Q(11) + 5(11)^2 + 6(11) + 7 = 6 \times 25 Q(11) + 678 = 150 Q(11) + 678$$ 由於商式值 $Q(11)$ 是未知的，故我們**無法**求得 $f(11)$ 的確切值。本選項錯誤。 3. **選項 $(3)$**： 我們要求 $f(x)$ 除以 $(x-5)^2$ 的餘式。雖然可將前項寫成： $$(x-5)(x-6)^2 Q(x) = (x-5)^2 [ (x-7) \text{ 等相關項 } Q(x) ] + \dots$$ 但在原式中，$(x-5)(x-6)^2 Q(x)$ 只含有一項一次的因式 $(x-5)$，無法被二項式平方 $(x-5)^2$ 整除，其餘式仍受未知多項式 $Q(x)$ 所影響，因此**無法**求得該餘式。本選項錯誤。 4. **選項 $(4)$**： 我們要求 $f(x)$ 除以 $(x-6)^2$ 的餘式。 在原式 $f(x) = (x-5)(x-6)^2 Q(x) + 5x^2 + 6x + 7$ 中，第一部分 $(x-5)(x-6)^2 Q(x)$ 顯然是 $(x-6)^2$ 的倍式，其除以 $(x-6)^2$ 的餘式為 $0$。 因此，整個多項式 $f(x)$ 除以 $(x-6)^2$ 的餘式，即等於後方餘式 $5x^2 + 6x + 7$ 除以 $(x-6)^2$ 的餘式。 我們將二次式進行除法變形： $$5x^2 + 6x + 7 = 5(x^2 - 12x + 36) + 66x - 173 = 5(x-6)^2 + (66x - 173)$$ 故 $f(x)$ 除以 $(x-6)^2$ 的餘式為 $66x - 173$。這是一個確定的式子，故**可求出**。本選項正確。 5. **選項 $(5)$**： 我們要求 $f(x)$ 除以 $(x-5)(x-6)$ 的餘式。 在原式中，第一部分 $(x-5)(x-6)^2 Q(x) = (x-5)(x-6) [ (x-6)Q(x) ]$ 顯然是 $(x-5)(x-6)$ 的倍式，其除以 $(x-5)(x-6)$ 的餘式為 $0$。 因此，整個多項式 $f(x)$ 除以 $(x-5)(x-6)$ 的餘式，即等於後方餘式 $5x^2 + 6x + 7$ 除以 $(x-5)(x-6) = x^2 - 11x + 30$ 的餘式。 我們將二次式進行除法變形： $$5x^2 + 6x + 7 = 5(x^2 - 11x + 30) + 61x - 143 = 5(x-5)(x-6) + (61x - 143)$$ 故 $f(x)$ 除以 $(x-5)(x-6)$ 的餘式為 $61x - 143$。這是一個確定的式子，故**可求出**。本選項正確。 綜上所述，正確的選項為 $(4)$ 與 $(5)$。