108 指考數學乙第 9 題

Question

已知實係數多項式 $f(x)$ 除以 $x^2 + 2$ 的餘式為 $x + 1$。若 $x f(x)$ 除以 $x^2 + 2$ 的餘式為 $ax + b$，則數對 $(a, b) = (	ext{____}, 	ext{____})$。

Accepted Answer

答案：$(1, -2)$
由除法原理，設 $f(x) = (x^2 + 2)Q(x) + (x + 1)$。
則 $x f(x) = x(x^2 + 2)Q(x) + x(x + 1) = (x^2 + 2) \cdot [x Q(x)] + (x^2 + x)$。
將 $x^2 + x$ 除以 $x^2 + 2$：
$x^2 + x = 1 \cdot (x^2 + 2) + (x - 2)$
因此 $x f(x) = (x^2 + 2) \cdot [x Q(x) + 1] + (x - 2)$
其餘式為 $x - 2$。比對 $ax + b$，得 $a = 1, b = -2$。
故 $(a, b) = (1, …