105指考數學乙多選第5題詳解

1. 設兩部車為 $C_1$ 與 $C_2$，每車恰好載 $4$ 人。 2. 因為甲先生與 $A$ 小姐同車（條件一），所以不妨設兩人在 $C_1$，即 $C_1\supseteq\{\text{甲},A\}$。 3. 因為乙先生與 $B$ 小姐同車（條件二），所以若兩人也在 $C_1$，則 $C_1$ 已有 $\{\text{甲},A,\text{乙},B\}$ 共 $4$ 人。但條件三要求 $C$ 小姐與 $D$ 小姐不同車，必有一人須進 $C_1$，此時 $C_1$ 會超載至 $5$ 人，矛盾。因此乙先生與 $B$ 小姐必須在 $C_2$，即 $C_2\supseteq\{\text{乙},B\}$。 4. 所以兩車的基本分配為： - $C_1$：$\{\text{甲},A\}$，尚餘 $2$ 個位置，由 $C$ 或 $D$ 中選一人、丙或丁中選一人填入。 - $C_2$：$\{\text{乙},B\}$，尚餘 $2$ 個位置，由 $D$ 或 $C$ 中選一人、丁或丙中選一人填入。 5. 逐一驗證各選項： 選項 $(1)$：$A$ 小姐在 $C_1$，而 $D$ 小姐可在 $C_1$（此時 $C$ 在 $C_2$）或 $C_2$（此時 $C$ 在 $C_1$），所以兩人不一定不同車。故錯誤。 選項 $(2)$：因為甲先生固定於 $C_1$，$B$ 小姐固定於 $C_2$，所以兩人必不同車。故正確。 選項 $(3)$：因為乙先生在 $C_2$，而丙先生可在 $C_1$ 或 $C_2$（取決於丙/丁的分配），所以兩人不一定同車。故錯誤。 選項 $(4)$：若乙先生與丁先生同車（均在 $C_2$），則 $C_2$ 為 $\{\text{乙},B,\text{丁},(C\text{ 或 }D)\}$，已滿 $4$ 人。此時丙先生必須在 $C_1$，而 $B$ 小姐在 $C_2$，所以丙先生與 $B$ 小姐必不同車，選項說「必同車」錯誤。故錯誤。 選項 $(5)$：若 $D$ 小姐與乙先生同車（均在 $C_2$），則根據條件三，$C$ 小姐與 $D$ 小姐不同車，所以 $C$ 小姐必須在 $C_1$。因為 $A$ 小姐也在 $C_1$，所以 $C$ 小姐與 $A$ 小姐必同車。故正確。 綜合以上，正確選項為 $(2)(5)$。