設兩部計程車分別為第一部車 $C_1$ 與第二部車 $C_2$，每車乘載限制為恰好 $4$ 名乘客。 我們根據題目已知條件進行逐步邏輯推導： 1. **條件（一）**：甲先生與 $A$ 小姐同車。 我們不妨假設他們在第一部車： $$C_1 \supseteq \{\text{甲}, A\}$$ 2. **條件（二）**：乙先生與 $B$ 小姐同車。 - 假設乙先生與 $B$ 小姐同在第一部車 $C_1$，此時 $C_1$ 已有 $4$ 名乘客：$\{\text{甲}, A, \text{乙}, B\}$。 - 根據**條件（三）**，$C$ 小姐與 $D$ 小姐必須不同車，這代表 $C$ 或 $D$ 當中必有一位必須被安排在第一部車 $C_1$ 中，這會導致 $C_1$ 的乘客總數達到 $5$ 人，與「每車僅載四人」的規定產生矛盾。 - 因此，乙先生與 $B$ 小姐**不可能**與甲先生及 $A$ 小姐同車，他們必被安排在第二部車： $$C_2 \supseteq \{\text{乙}, B\}$$ 基於上述推導，兩車的底牌分配如下（各車已佔有 $2$ 個名額，剩餘 $2$ 個名額）： - 第一部車乘客結構為：$\{\text{甲}, A, (C \text{ 或 } D), (\text{丙 } \text{或 } \text{丁})\}$ - 第二部車乘客結構為：$\{\text{乙}, B, (D \text{ 或 } C), (\text{丁 } \text{或 } \text{丙})\}$ 現在我們逐一驗證各個選項： - **選項 $(1)$**：$A$ 小姐與 $D$ 小姐必不同車。 - $A$ 小姐在第一部車 $C_1$。而 $D$ 小姐可以在 $C_1$（此時 $C$ 小姐在 $C_2$）或 $C_2$（此時 $C$ 小姐在 $C_1$），故她們**不一定**不同車。本選項錯誤。 - **選項 $(2)$**：甲先生與 $B$ 小姐必不同車。 - 甲先生被安排在第一部車 $C_1$，$B$ 小姐被安排在第二部車 $C_2$，兩人**必定**在不同車上。本選項正確。 - **選項 $(3)$**：乙先生與 丙先生必同車。 - 乙先生在第二部車 $C_2$。丙先生與丁先生是一人分配到 $C_1$，一人分配到 $C_2$，故丙先生**不一定**與乙先生同車。本選項錯誤。 - **選項 $(4)$**：如果乙先生與丁先生同車，則丙先生與 $B$ 小姐必同車。 - 若乙先生與丁先生同在第二部車 $C_2$，則 $C_2$ 的名單包含 $\{\text{乙}, B, \text{丁}, (C \text{ 或 } D)\}$，此時 $C_2$ 的 $4$ 個名額已滿。 - 這使得丙先生必須被分配到第一部車 $C_1$。 - 由於 $B$ 小姐在 $C_2$，而丙先生在 $C_1$，故丙先生與 $B$ 小姐**必不同車**。本選項錯誤。 - **選項 $(5)$**：如果 $D$ 小姐與乙先生同車，則 $C$ 小姐與 $A$ 小姐必同車。 - 若 $D$ 小姐與乙先生同在第二部車 $C_2$，則 $D$ 小姐被安置於 $C_2$。 - 根據條件（三），$C$ 小姐與 $D$ 小姐不同車，因此 $C$ 小姐**必須**被分配到第一部車 $C_1$。 - 由於 $A$ 小姐本身就被固定在第一部車 $C_1$，因此 $C$ 小姐與 $A$ 小姐**必定同在第一部車**。本選項正確。 綜上所述，正確的選項為 $(2)$ 與 $(5)$。