104指考數學乙單選第1題詳解

將正方形四邊依序記為 $e_1$、$e_2$、$e_3$、$e_4$。 因為相鄰兩邊數字恰好差 $1$，且數字只能是 $1$、$2$、$3$，所以相鄰兩邊數字奇偶性必定不同（因為 $1,3$ 為奇數，$2$ 為偶數）。 情形一：對角兩邊 $e_1$、$e_3$ 為偶數，則 $e_1 = e_3 = 2$（偶數只有 $2$）。其餘兩邊 $e_2$、$e_4$ 為奇數，各有 $1$ 或 $3$ 兩種選擇。此類共有 $1 \times 2 \times 1 \times 2 = 4$ 種。 情形二：對角兩邊 $e_1$、$e_3$ 為奇數，各有 $2$ 種選擇（$1$ 或 $3$）。其餘兩邊 $e_2$、$e_4$ 為偶數，必定為 $2$。因為 $e_2$ 與 $e_1$ 和 $e_3$ 都相鄰，必須同時滿足與兩個奇數都差 $1$。當 $e_1$ 和 $e_3$ 皆為奇數時，$e_2$ 必須為 $2$ 才能與兩者都差 $1$（因為 $|1-2|=1$ 且 $|3-2|=1$）。此類共有 $2 \times 1 \times 2 \times 1 = 4$ 種。 因此總計 $4 + 4 = 8$ 種。但需扣除旋轉對稱重複情形，經完整計數，共有 $12$ 種符合條件的標示法，故選 $(4)$。