104指考數學乙單選第2題詳解

在第一象限中，格子點 $(x, y)$ 的坐標必須是正整數，即 $x \ge 1, y \ge 1$ 且 $x, y \in \mathbb{Z}$。 給定的不等式限制為： $$x + 2y \le 2n \implies x \le 2n - 2y$$ 對於每一個固定的正整數 $y$，滿足條件的正整數 $x$ 範圍為： $$1 \le x \le 2n - 2y$$ 因此，對應此 $y$ 值，可選擇的 $x$ 共有 $2n - 2y$ 個。 因為 $x$ 必須為正整數，所以必須滿足： $$2n - 2y \ge 1 \implies y \le n - 0.5$$ 由於 $y$ 為正整數，故其最大可能值為 $n - 1$，即 $y \in \{1, 2, \dots, n-1\}$。 因此，格子點的總數 $a_n$ 可藉由對 $y$ 進行累加求得： $$a_n = \sum_{y=1}^{n-1} (2n - 2y) = 2\sum_{y=1}^{n-1} (n - y)$$ 利用等差級數求和公式，可得： $$a_n = 2 \times \dfrac{(n-1)[(n-1) + 1]}{2} = n(n-1) = n^2 - n$$ 接下來計算極限值： $$\lim_{n \to \infty} \dfrac{a_n}{n^2} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{n^2 - n}{n^2} = \lim_{n \to \infty} \left(1 - \dfrac{1}{n}\right) = 1$$ 故選 $(2)$。