給定常數 $a = 10^{1 - \frac{\sqrt{\,2\,}}{2}}$，$b = a^{\sqrt{2}}$。 我們取 $\sqrt{2} \approx 1.414$，對各個選項進行估算與推導： 1. **選項 $(1)$**：$1 < a$ - 計算 $a$ 的指數部分： $$1 - \dfrac{\sqrt{\,2\,}}{2} \approx 1 - \dfrac{1.414}{2} = 1 - 0.707 = 0.293$$ - 由於 $0.293 > 0$，且底數 $10 > 1$，根據指數函數的單調性： $$a = 10^{0.293} > 10^0 = 1$$ - 因此本選項正確。 2. **選項 $(2)$**：$a < \sqrt{3}$ - 我們已知 $a = 10^{1 - \frac{\sqrt{\,2\,}}{2}} \approx 10^{0.293}$。 - 將 $\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$ 化以 $10$ 為底的指數表示： $$\sqrt{3} = 10^{\log_{10}(3^{\frac{1}{2}})} = 10^{\frac{1}{2}\log_{10}3}$$ - 利用常用對數常數 $\log_{10}3 \approx 0.4771$ 可得： $$\dfrac{1}{2}\log_{10}3 \approx \dfrac{0.4771}{2} = 0.23855$$ - 比較 $a$ 與 $\sqrt{3}$ 的指數部分，由於 $0.293 > 0.23855$，且底數 $10 > 1$： $$a = 10^{0.293} > 10^{0.23855} = \sqrt{3}$$ - 即 $a > \sqrt{3}$，本選項錯誤。 3. **選項 $(3)$**：$a^2 < b^{\sqrt{3}}$ - 將右式 $b^{\sqrt{3}}$ 表示為以 $a$ 為底的指數： $$b^{\sqrt{3}} = (a^{\sqrt{2}})^{\sqrt{3}} = a^{\sqrt{2} \times \sqrt{3}} = a^{\sqrt{6}}$$ - 我們要比較 $a^2$ 與 $a^{\sqrt{6}}$。由於 $\sqrt{6} \approx 2.449 > 2$，且底數 $a > 1$（由選項 $(1)$ 得知）： $$a^2 < a^{\sqrt{6}} \implies a^2 < b^{\sqrt{3}}$$ - 因此本選項正確。 4. **選項 $(4)$**：$10^{0.4} < b < 10^{0.5}$ - 將 $b$ 表示為以 $10$ 為底的指數： $$b = a^{\sqrt{2}} = \left(10^{1 - \frac{\sqrt{\,2\,}}{2}}\right)^{\sqrt{2}} = 10^{\sqrt{2} - \frac{2}{2}} = 10^{\sqrt{2} - 1}$$ - 由於 $\sqrt{2} \approx 1.414$，所以指數部分為 $\sqrt{2} - 1 \approx 0.414$。 - 顯然有 $0.4 < 0.414 < 0.5$，由於底數 $10 > 1$，得： $$10^{0.4} < 10^{\sqrt{2}-1} < 10^{0.5} \implies 10^{0.4} < b < 10^{0.5}$$ - 因此本選項正確。 5. **選項 $(5)$**：$(ab)^{\sqrt{2}} < 10$ - 計算 $ab$ 的值： $$ab = a \times a^{\sqrt{2}} = a^{\sqrt{2}+1} = \left(10^{1 - \frac{\sqrt{\,2\,}}{2}}\right)^{\sqrt{2}+1} = 10^{\left(1 - \frac{\sqrt{\,2\,}}{2}\right)\left(\sqrt{2}+1\right)}$$ 我們可以直接使用以 $10$ 為底的指數加法： $$a \cdot b = 10^{1 - \frac{\sqrt{\,2\,}}{2}} \times 10^{\sqrt{2} - 1} = 10^{\left(1 - \frac{\sqrt{\,2\,}}{2}\right) + \left(\sqrt{2}-1\right)} = 10^{\frac{\sqrt{\,2\,}}{2}}$$ - 接著計算 $(ab)^{\sqrt{2}}$ 的值： $$(ab)^{\sqrt{2}} = \left(10^{\frac{\sqrt{\,2\,}}{2}}\right)^{\sqrt{2}} = 10^{\frac{\sqrt{\,2\,}}{2} \times \sqrt{2}} = 10^{\frac{2}{2}} = 10^1 = 10$$ - 因為 $(ab)^{\sqrt{2}} = 10$，故不等式 $(ab)^{\sqrt{2}} < 10$ 不成立。本選項錯誤。 綜上所述，正確的選項為 $(1)$、$(3)$ 與 $(4)$。