1. 由 $2^x = 3$ 得 $x = \log_2 3 = \dfrac{\log 3}{\log 2} \approx \dfrac{0.4771}{0.3010} \approx 1.585$。\\ 2. 由 $3^y = 4$ 得 $y = \log_3 4 = \dfrac{\log 4}{\log 3} = \dfrac{2\log 2}{\log 3} \approx \dfrac{0.6020}{0.4771} \approx 1.262$。\\ 判定各選項： $(1)$ $x \approx 1.585 < 2$，正確。 $(2)$ $y \approx 1.262 < 1.5 = \dfrac{3}{2}$，錯誤。 $(3)$ $x \approx 1.585 > y \approx 1.262$，錯誤。 $(4)$ $xy = \log_2 3 \times \log_3 4 = \log_2 4 = 2$，正確。 $(5)$ 由於 $x, y$ 均為正數，由算幾不等式 $\dfrac{x+y}{2} \ge \sqrt{xy} = \sqrt{2} \implies x+y \ge 2\sqrt{2}$。且因 $x \neq y$，等號不成立，故 $x+y > 2\sqrt{2}$，錯誤。 故選 $(1)(4)$。