107指考數學乙多選第6題詳解

設甲款誤差為 $X$、乙款誤差為 $Y$。由題意：$P(X>3)=0.32$，$P(X>6)=0.10$；$P(Y>3)=0.16$，$P(Y>6)=0.05$。 選項 $(1)$：$P(3<X\le 6)=P(X>3)-P(X>6)=0.32-0.10=0.22$。因為 $0.22>0.2$，所以正確。 選項 $(2)$：因為兩次檢驗獨立，所以 $P(X_1\le 3,\;X_2>6)=P(X\le 3)\times P(X>6)=(1-0.32)\times 0.10=0.68\times 0.10=0.068\neq 0.136$。錯誤。 選項 $(3)$：因為甲、乙獨立，所以 $P(X\le 3,\;Y\le 3)=P(X\le 3)\times P(Y\le 3)=0.68\times 0.84=0.5712$。因為 $0.5712<0.7$，所以錯誤。 選項 $(4)$：至少有一個誤差不超過 $3\text{ mmHg}$ 的機率為 $$1-P(X>3,\;Y>3)=1-0.32\times 0.16=1-0.0512=0.9488$$ 因為 $0.9488>0.84$，所以正確。 選項 $(5)$：若 $X>3$ 且 $Y>3$，則兩者平均必超過 $3\text{ mmHg}$，所以 $P(\text{平均}>3)\ge P(X>3,\;Y>3)=0.32\times 0.16$，不小於此乘積。錯誤。 故選 $(1)(4)$。