86學測數學單選第8題詳解

因為每位學生須連續 $5$ 次出現正面，所以每位學生達成條件的機率為 $\frac{1}{32}$，沒有達成條件的機率為 $\frac{31}{32}$。 40 位學生皆未達成的機率為：$$\left(\frac{31}{32}\right)^{40}$$所以至少一人達成的機率為：$$p=1-\left(\frac{31}{32}\right)^{40}$$ 取以 $10$ 為底的對數：$$\log_{10}\left[\left(\frac{31}{32}\right)^{40}\right]=40(\log_{10}31-\log_{10}32)$$$$\approx40(1.49136-1.50515)\approx-0.5516$$因此：$$\left(\frac{31}{32}\right)^{40}\approx10^{-0.5516}\approx0.2808$$得到 $p\approx1-0.2808=0.7192$。所以 $0.7\le p<0.8$，故選 $(4)$。