正立方體的 $6$ 個面中心點在幾何上構建出一個正八面體的 $6$ 個頂點。若要在此 $6$ 個頂點中選出 $4$ 個頂點來構成一個正方形，則這四個頂點必須共面。在此正八面體中，僅有分別與三個坐標軸（$x$、$y$、$z$ 軸）垂直的截面（即三個赤道面）能提供符合條件的正方形。因此，這四個中心點組成的正方形一共有 $3$ 個。故選 $(1)$。