85 學測數學第 3 題

Question

已知直線 $L_1$，$L_2$ 交於 $(1, 0, -1)$，且相互垂直，其中
$$L_1:\begin{cases} x=1+t \ y=t \ z=-1 \end{cases} t \in \mathbb{R} \ ,\ L_2:\begin{cases} x=1+t \ y=-t \ z=-1-t \end{cases} t \in \mathbb{R} 。$$
若以 $L_1$ 為軸將 $L_2$ 旋轉一圈得一平面，則此平面的方程式為何？

Accepted Answer

答案：$(3)$
因為直線 $L_1$ 與 $L_2$ 互相垂直且相交於點 $P(1, 0, -1)$。若以 $L_1$ 為旋轉軸，將 $L_2$ 旋轉一圈，所產生的軌跡會構成一個通過點 $P$ 且垂直於 $L_1$ 的平面。
因此，該平面的法向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{n}$ 即為直線 $L_1$ 的方向向量：
$$\overset{\large\rightharpoonup}{n} = (1, 1, 0)$$
使用點法式求平面方程式，通過點 $P(1, 0, -1)$：
$$1(x-1) + 1(y-0) + 0(z+1) = 0 \implies x+y-1=0…