85 學測數學第 2 題

Question

坐標平面上點 $A(1, 2)$ 到直線 $L$ 的垂足是 $D(3, 2)$。問 $A$ 對於 $L$ 的對稱點是下列那一點？

Accepted Answer

答案：$(5)$
設點 $A$ 對於直線 $L$ 的對稱點為 $A'$。由於點 $D(3, 2)$ 為 $A$ 在直線 $L$ 上的投影點（垂足），因此 $D$ 必為線段 $\overline{AA'}$ 的中點。
根據中點公式：
$$D = \dfrac{A + A'}{2} \implies A' = 2D - A$$
代入坐標得：
$$A' = 2(3, 2) - (1, 2) = (6, 4) - (1, 2) = (5, 2)$$
因此對稱點的坐標為 $(5, 2)$。故選 $(5)$。