86學測數學多選第9題詳解

因為函數為開口向上的二次函數，所以其最小值發生在所有常數的平均值。 函數 $f(x) = (x-1)^2 + (x-2)^2 + (x-3)^2 + (x-8)^2 + (x-9)^2 + (x-10)^2$ 為開口向上的二次函數。 二次函數 $g(x) = \sum\limits_{i=1}^k (x-c_i)^2$ 的最小值發生在所有常數的平均值： $$a = \dfrac{1+2+3+8+9+10}{6} = \dfrac{33}{6} = 5.5$$ 驗證選項： - $(1)$ $a = 5.5$ 不是整數，此選項錯誤。 - $(2)$ $5.5 < 5.9$，此選項正確。 - $(3)$ $5.5 > 5.1$，此選項正確。 - $(4)$ $|5.5 - 4| = 1.5 \not< 0.5$，此選項錯誤。 - $(5)$ $|5.5 - 6| = 0.5$（不小於 $0.5$），此選項錯誤。 故正確答案為 $(2)(3)$。