給定方程式： $$\left|\dfrac{3x + y - 19}{\sqrt{10}}\right| = \sqrt{(x + 1)^2 + (y - 2)^2}$$ 左式代表平面上動點 $(x, y)$ 到直線 $L: 3x + y - 19 = 0$ 的距離；右式代表動點到定點 $F(-1, 2)$ 的距離。根據錐線定義，動點到定點的距離與到定直線的距離相等，表示其離心率 $e=1$，因此圖形 $\Gamma$ 為以 $F(-1, 2)$ 為焦點、$L$ 為準線的拋物線。由此可知： - $(1)$ $\Gamma$ 為拋物線，正確。 - $(2)$ 焦點為 $F(-1, 2)$，選項為 $(1, -2)$，錯誤。 - $(3)$ $L$ 是準線而非漸近線, 錯誤。 - $(4)$ 對稱軸垂直準線 $L$ 且通過焦點 $F(-1, 2)$。準線斜率為 $-3$，故對稱軸斜率為 $\dfrac{1}{3}$。其方程式為： $$y - 2 = \dfrac{1}{3}(x+1) \implies x - 3y + 7 = 0$$ 此選項正確。 - $(5)$ 焦點 $F(-1, 2)$ 在準線 $L$ 上的投影點 $H$ 滿足 $(-1+3t, 2+t)$，代入 $L$ 得 $3(-1+3t) + (2+t) - 19 = 0 \implies 10t = 20 \implies t = 2$，得 $H(5, 4)$。頂點 $V$ 為 $F$ 與 $H$ 的中點： $$V = \left(\dfrac{-1+5}{2}, \dfrac{2+4}{2}\right) = (2, 3)$$ 選項頂點為 $(3, 1)$，錯誤。 故正確答案為 $(1)(4)$。