107指考數學乙多選第7題詳解

設總住宅數為 $1$。$A$ 級占 $60\%$（$0.6$），$B$ 級占 $40\%$（$0.4$）。 $A$ 級過去一年遭竊比率 $15\%$（$0.15$），$B$ 級為 $5\%$（$0.05$）。 選項 $(1)$：全體過去一年遭竊比率為 $0.6\times 0.15+0.4\times 0.05=0.09+0.02=0.11$，即 $11\%$，不是 $12\%$。錯誤。 選項 $(2)$：過去遭竊住宅中 $A$ 級所占比例為 $\frac{0.6\times 0.15}{0.11}=\frac{0.09}{0.11}=\frac{9}{11}\approx 81.8\%$。因為 $\frac{9}{11}<0.9=90\%$，所以錯誤。 選項 $(3)$：$A$ 級住宅中原被竊機率為 $0.15$，改善後降為 $0.03$。因為 $0.03=\frac{1}{5}\times 0.15$，所以改善後的被竊機率為原來的 $\frac{1}{5}$。正確。 選項 $(4)$：改善後，$A$ 級中有 $20\%$ 改善（被竊率 $0.03$）、$80\%$ 未改善（被竊率 $0.15$），所以 $A$ 級平均被竊率為 $$0.2\times 0.03+0.8\times 0.15=0.006+0.12=0.126$$ 因為 $0.126>0.05$（$B$ 級被竊率），所以 $A$ 級被竊率大於 $B$ 級。錯誤。 選項 $(5)$：改善後全體被竊率為 $$0.6\times 0.126+0.4\times 0.05=0.0756+0.02=0.0956$$ 因為 $0.0956<0.11$，所以正確。 故選 $(3)(5)$。