110 指考數學甲第 6 題

Question

一個標有 $1$ 至 $12$ 號格子的 $12$ 格戳戳樂遊戲，每回遊戲以投擲一枚均勻銅板四次來決定要戳哪些格子。規則如下：
（一）第一次投擲銅板，若是正面，則戳 $1$ 號格子；若是反面，則戳 $3$ 號格子。
（二）第二、三、四次投擲銅板，若是正面，則所戳格子的號碼為前一次所戳格子的號碼加 $1$；若是反面，則所戳格子的號碼為前一次所戳格子的號碼加 $3$，依此類推。
例如：投擲銅板四次的結果依序為「正、反、反、正」，則會戳編號分別為 $1$、$4$、$7$、$8$ 號的四個格子。假設 $p_m$ 代表在每回遊戲中 $m$ 號格子被戳到的機率，試選出正確的選項。

Accepted Answer

答案：$(1)(3)(4)$
列舉 $2^4=16$ 種等可能結果，可得 $p_1=\dfrac{1}{2}$、$p_2=\dfrac{1}{4}$、$p_3=\dfrac{5}{8}$、$p_4=\dfrac{9}{16}$、$p_8=\dfrac{3}{8}$、$p_{10}=\dfrac{1}{4}$。因此 $(1)$ 正確，$(2)$ 錯誤，且 $\dfrac{1}{2}p_1+\dfrac{1}{2}p_3=\dfrac{9}{16}=p_4$，故 $(3)$ 正確；$p_8>p_{10}$，故 $(4)$ 正確。含 $4$ 號的結果有 $9$ 種，其中同時含 $3$ 號者有 $5$ 種，所以條件機率為 $\df…