110學測數學多選第12題詳解

總排列數：$7$ 顆球中有 $2$ 黑、$2$ 白、$3$ 紅，排列數為 $\frac{7!}{2!\;2!\;3!}=210$。 選項 $(1)$：事件 $A$（兩黑相鄰）：將兩黑球綁在一起視為一體，共有 $\frac{6!}{2!\;3!}=60$ 種，所以 $P(A)=\frac{60}{210}=\frac{2}{7}$。事件 $B$（兩黑不相鄰）：$P(B)=1-P(A)=\frac{5}{7}$。因為 $\frac{2}{7}<\frac{5}{7}$，即 $P(A)<P(B)$，所以此選項錯誤。 選項 $(2)$：事件 $C$（任兩紅球都不相鄰）：先排 $2$ 黑 $2$ 白共 $4$ 球，排列數為 $\frac{4!}{2!\;2!}=6$，產生 $5$ 個間隔。從 $5$ 個間隔中選 $3$ 個各放 $1$ 紅球，有 $C^5_3=10$ 種。所以 $|C|=6\times10=60$，$P(C)=\frac{60}{210}=\frac{2}{7}$，此選項正確。 選項 $(3)$：先計算條件機率。 在 $A$ 的條件下（兩黑綁一起視為一體），先排「黑黑」、$2$ 白共 $3$ 體，排列數為 $\frac{3!}{2!}=3$，產生 $4$ 個間隔，選 $3$ 個放紅球有 $C^4_3=4$ 種，所以 $|A\cap C|=3\times4=12$。因此 $P(C\mid A)=\frac{12}{60}=\frac{1}{5}$。 因為 $|C|=60$、$|A\cap C|=12$，所以 $|B\cap C|=60-12=48$。因此 $P(C\mid B)=\frac{48}{150}=\frac{8}{25}$。 所以 $2P(C\mid A)+5P(C\mid B)=2\times\frac{1}{5}+5\times\frac{8}{25}=\frac{2}{5}+\frac{8}{5}=2$，並非小於 $2$，此選項錯誤。 選項 $(4)$：因為 $P(C\mid A)=\frac{1}{5}=0.2$，並非大於 $0.2$，所以此選項錯誤。 選項 $(5)$：因為 $P(C\mid B)=\frac{8}{25}=0.32>0.3$，所以此選項正確。 故選 $(2)(5)$。