110 學測數學第 12 題

Question

設 $P(X)$ 表示事件 $X$ 發生的機率，而 $P(X\mid Y)$ 表示在事件 $Y$ 發生的條件下，事件 $X$ 發生的機率。今有 $2$ 顆黑球、$2$ 顆白球、$3$ 顆紅球共 $7$ 顆大小相同的球排成一列。設事件 $A$ 為 $2$ 顆黑球相鄰的事件，事件 $B$ 為 $2$ 顆黑球不相鄰的事件，而事件 $C$ 為任 $2$ 顆紅球都不相鄰的事件。試選出正確的選項。

Accepted Answer

答案：$(2)(5)$
總排列數為 $\dfrac{7!}{2!2!3!}=210$。事件 $C$ 可由先排非紅球 $4$ 個，再選 $3$ 個間隔放紅球，得 $\dfrac{4!}{2!2!}\binom53=60$，故 $P(C)=\dfrac{60}{210}=\dfrac27$，$(2)$ 對。進一步分別計算黑球相鄰與不相鄰下的 $C$ 件數，可得 $(5)$ 對而 $(1)(3)(4)$ 錯。