110學測數學多選第13題詳解

選項 $(1)$：令 $g(x)=f(x)-(x^2+100)=x^3+(a-1)x^2+bx+(c-100)$。因為 $g(x)$ 為三次多項式（首項係數 $1$），所以 $g(x)$ 必有實根，即 $y=f(x)$ 與 $y=x^2+100$ 的圖形必有交點，此選項錯誤。 選項 $(2)$：因為 $f(0)f(1)<0$，所以由中間值定理，$f(x)=0$ 在區間 $(0,1)$ 內至少有一根。又 $f(0)f(1)<0$ 且 $f(0)f(2)>0$，表示 $f(1)$ 與 $f(2)$ 異號，所以區間 $(1,2)$ 內至少有一根。因為實係數三次多項式的第三根亦為實根，且三根不可能重合（否則符號交替矛盾），所以必有三個相異實根，此選項正確。 選項 $(3)$：因為 $f(x)$ 為有理係數多項式，且 $1+3i$ 為根，所以其共軛複數 $1-3i$ 亦為根。兩複根之和為 $2$，乘積為 $1^2+3^2=10$。由根與係數關係，三根之和為 $-a$，設第三根為 $r$，則 $r+2=-a$，得 $r=-a-2$。因為 $a$ 為有理數，所以 $r$ 也是有理數，此選項正確。 選項 $(4)$：若 $f(1),f(2),f(3),f(4)$ 成等差數列，則第三階差分應為 $0$。但對首項係數為 $1$ 的三次多項式，函數值在等距點上的第三階差分恆為 $3!\times1=6$（非 $0$），所以不可能成等差數列，此選項錯誤。 選項 $(5)$：取目標值 $6,12,24,48$（等比為 $2$），計算第三階差分：$48-3\times24+3\times12-6=48-72+36-6=6$。因為首項係數為 $1$ 的三次多項式在等距點上的第三階差分恆為 $6$，所以存在有理係數的三次多項式通過這四個點，此選項正確。 故選 $(2)(3)(5)$。