$(1)$ 中 $f(x)-(x^2+100)$ 是首項係數為 $1$ 的三次多項式，必有實根，故錯。$(2)$ 由符號變化可在 $(0,1)$、$(1,2)$ 及另一側各得根，故對。$(3)$ 有理係數使 $1-3i$ 亦為根，剩下一根由係數關係為有理數，故對。三次函數在等距點的三階差固定為 $6$，故不可能使四點值成等差，$(4)$ 錯；可選適當有理係數使四值成等比，$(5)$ 對。