$f(x)$ 為三次實係數多項式，$1+i$ 為其根，由共軛複數根定理知 $1-i$ 亦為根。故 $$f(x) = a(x-(1+i))(x-(1-i))(x-r) = a(x^2 - 2x + 2)(x - r)$$ 其中 $a eq 0$ 為實數，$r$ 為實數。 $(1)$ $f(1-i) = 0$，由共軛根定理直接成立，正確。 $(2)$ $f(2+i) = a((2+i)^2 - 2(2+i) + 2)((2+i) - r) = a(1 + 2i)(2 - r + i)$。此乘積為零需 $1 + 2i = 0$（不可能）或 $2 - r + i = 0$，但後者要求虛部為 $0$，矛盾。故 $f(2+i) eq 0$，正確。 $(3)$ $f(x) = x$ 即 $a(x^2 - 2x + 2)(x - r) - x = 0$ 為三次方程，必有實數根，故錯誤。 $(4)$ $f(x^3) = 0$ 即 $x^3 = 1+i$ 或 $x^3 = 1-i$ 或 $x^3 = r$。$x^3 = r$（$r$ 為實數）必有實數解，故錯誤。 $(5)$ $f(0) = a \cdot 2 \cdot (-r) = -2ar > 0$，$f(2) = a \cdot 2 \cdot (2-r) = 2a(2-r) < 0$。 若 $a > 0$：$-2ar > 0$ 得 $r < 0$，但 $2a(2-r) < 0$ 得 $r > 2$，矛盾。 故 $a < 0$：$-2ar > 0$ 得 $r > 0$，$2a(2-r) < 0$ 得 $r < 2$。 所以 $a < 0$ 且 $0 < r < 2$。 $f(4) = a(16 - 8 + 2)(4 - r) = 10a(4 - r)$。因 $a < 0$ 且 $4 - r > 0$（$r < 2$），故 $f(4) < 0$，正確。 故答案為 $(1)(2)(5)$。