設原點 $O = (0,0)$，$P = (1, 0)$，直線 $L$ 的方程式為 $x - 2y + 4 = 0$。 各選項的幾何與代數分析如下： 1. **選項 $(1)$**：滿足向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{OP}$ 與 $\overset{\large\rightharpoonup}{OA}$ 平行。 - 向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{OP} = (1, 0)$。若 $\overset{\large\rightharpoonup}{OA}$ 與 $\overset{\large\rightharpoonup}{OP}$ 平行，則點 $A$ 必須位於 $x$ 軸上，即其 $y$ 坐標為 $0$。 - 將 $y = 0$ 代入直線 $L$ 方程式： $$x - 2(0) = -4 \implies x = -4$$ - 點 $A(-4, 0)$ 確實在直線 $L$ 上，此時 $\overset{\large\rightharpoonup}{OA} = (-4, 0) = -4\overset{\large\rightharpoonup}{OP}$，兩向量平行。故本選項正確。 2. **選項 $(2)$**：滿足向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{OP}$ 與 $\overset{\large\rightharpoonup}{OB}$ 垂直。 - 向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{OP} = (1, 0)$。若 $\overset{\large\rightharpoonup}{OB} = (x_B, y_B)$ 與 $\overset{\large\rightharpoonup}{OP}$ 垂直，則： $$\overset{\large\rightharpoonup}{OB} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{OP} = x_B \times 1 + y_B \times 0 = 0 \implies x_B = 0$$ - 即點 $B$ 必須在 $y$ 軸上。將 $x_B = 0$ 代入直線 $L$ 方程式： $$0 - 2y = -4 \implies y = 2$$ - 點 $B(0, 2)$ 確實在直線 $L$ 上，此時 $\overset{\large\rightharpoonup}{OB} = (0, 2)$ 與 $\overset{\large\rightharpoonup}{OP}$ 垂直。故本選項正確。 3. **選項 $(3)$**：滿足向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{OC}$ 與 $\overset{\large\rightharpoonup}{PC}$ 垂直。 - 向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{OC} \perp \overset{\large\rightharpoonup}{PC}$ 代表 $\angle OCP = 90^\circ$。由圓周角定理可知，滿足此條件的點 $C$ 必在以 $OP$ 為直徑的圓 $\Gamma$ 上。 - 圓 $\Gamma$ 的圓心為 $M\left(\dfrac{1}{2}, 0\right)$，半徑 $R = \dfrac{1}{2}$。 - 我們求圓心 $M$ 到直線 $L: x - 2y + 4 = 0$ 的距離 $d(M, L)$： $$d(M, L) = \dfrac{\left|\frac{1}{2} - 2(0) + 4\right|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} = \dfrac{4.5}{\sqrt{5}} = \dfrac{9}{2\sqrt{5}} \approx 2.01$$ - 因為 $d(M, L) \approx 2.01 > R = 0.5$，說明直徑圓 $\Gamma$ 與直線 $L$ 無交點，故在直線 $L$ 上找不到滿足條件的點 $C$。故本選項錯誤。 4. **選項 $(4)$**：滿足 $\overline{PD} = 2$。 - 求點 $P(1, 0)$ 到直線 $L: x - 2y + 4 = 0$ 的最短距離（即垂線段長度）： $$d(P, L) = \dfrac{|1 - 2(0) + 4|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} = \dfrac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5} \approx 2.236$$ - 直線 $L$ 上的任意點 $D$ 與點 $P$ 的距離 $\overline{PD}$ 必定大於或等於最短距離： $$\overline{PD} \ge \sqrt{5} \approx 2.236$$ - 由於 $2 < \sqrt{5}$，因此不可能在直線 $L$ 上找到點 $D$ 滿足 $\overline{PD} = 2$。故本選項錯誤。 5. **選項 $(5)$**：滿足 $\Delta EOP$ 為等腰三角形。 - 由於 $O(0,0)$ 與 $P(1,0)$ 的距離為 $\overline{OP} = 1$。 - 欲使 $\Delta EOP$ 成為等腰三角形，若我們考慮 $\overline{EO} = \overline{EP}$，則點 $E$ 必須在線段 $OP$ 的垂直平分線上，即直線 $x = \dfrac{1}{2}$ 上。 - 將 $x = \dfrac{1}{2}$ 代入直線 $L$ 方程式： $$\dfrac{1}{2} - 2y = -4 \implies 2y = \dfrac{9}{2} \implies y = \dfrac{9}{4}$$ - 點 $E\left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{9}{4}\right)$ 確實在直線 $L$ 上，且 $E$ 不在 $x$ 軸上（不共線），故可構成以 $\overline{EO} = \overline{EP}$ 的等腰三角形。故本選項正確。 綜上所述，正確的選項為 $(1)$、$(2)$ 與 $(5)$。