104指考數學甲多選第7題詳解

設圓心 $O$ 到直線 $x - y + 1 = 0$ 的垂足為 $M$，$M$ 為 $\overline{QR}$ 的中點。 $\overline{OM} = \frac{|0 - 0 + 1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$，且 $M = \left(-\frac{1}{2},\; \frac{1}{2}\right)$。 設半弦長為 $s = \frac{\overline{QR}}{2}$，圓半徑 $r = \sqrt{\overline{OM}^2 + s^2}$。 正三角形 $PQR$ 中，$P$ 在 $\overline{QR}$ 的中垂線上，高為 $\sqrt{3}s$。$P$ 也在圓上，且 $P$ 到 $M$ 的距離為 $\sqrt{3}s$。 由幾何關係可得 $s = \sqrt{3} \cdot \overline{OM}$，因此 $r^2 = \overline{OM}^2 + 3\overline{OM}^2 = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$。 $(1)$ 因為 $r^2 = 2$，所以 $r = \sqrt{2}$，正確。 $(2)$ $P$ 在第二象限，不在第三象限，錯誤。 $(3)$ $M = (-\frac{1}{2},\frac{1}{2})$，不是 $(\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$，錯誤。 $(4)$ $r^2 = 2$，正確。 $(5)$ $P$ 點的切線並非 $x - y - 1 = 0$，錯誤。 因此正確選項為 $(1)(4)$。