108指考數學乙多選第5題詳解

條件：任一行、列、對角線不可全為相同符號，且全盤恰有 $5$ 個 $\bigcirc$ 與 $4$ 個 $\times$。 選項 $(1)$：因為中心為 $\bigcirc$，若四個邊格中有三個為 $\bigcirc$，則中列 $(4,5,6)$ 或中行 $(2,5,8)$ 必有一組的三格皆為 $\bigcirc$（四個邊格取三個，必涵蓋中列或中行的兩個邊格，加上中心即構成三個 $\bigcirc$），違反條件，所以不可能有三個 $\bigcirc$ 放在邊上。本選項錯誤。 選項 $(2)$：因為兩條對角線各至多容許一個角格為 $\bigcirc$（中心已為 $\bigcirc$），所以四角至多有 $2$ 個 $\bigcirc$；又因為中行與中列各至多容許一個邊格為 $\bigcirc$（中心已為 $\bigcirc$），所以四邊至多有 $2$ 個 $\bigcirc$。因為除中心外尚需 $4$ 個 $\bigcirc$，而角與邊各至多 $2$ 個，所以角與邊必定恰各有 $2$ 個 $\bigcirc$。本選項正確。 選項 $(3)$：因為中心為 $\times$，剩餘 $3$ 個 $\times$ 需分配至角與邊。兩對角線各至多一個角格為 $\times$（中心已為 $\times$），四角至多 $2$ 個 $\times$，但可能僅 $1$ 個 $\times$ 在角上而 $2$ 個 $\times$ 在邊上，所以不一定恰有兩個 $\times$ 在角上。本選項錯誤。 選項 $(4)$：由選項 $(2)$，中心為 $\bigcirc$ 時角恰有 $2$ 個 $\bigcirc$、邊恰有 $2$ 個 $\bigcirc$。因為兩角 $\bigcirc$ 必須分屬不同對角線，所以角 $\bigcirc$ 的可能組合為 $(1,3)$、$(1,7)$、$(3,9)$、$(7,9)$ 共 $4$ 種。每種角組合下邊 $\bigcirc$ 均有 $2$ 種合法配置，故總方法數為 $4 \times 2 = 8$ 種。本選項正確。 選項 $(5)$：因為中心為 $\times$ 時，經由分類討論可得符合條件的方法共有 $8$ 種（非 $4$ 種），所以本選項錯誤。 故選 $(2)(4)$。