108指考數學乙多選第4題詳解

設 $a$ 為 $m$ 位數，$b$ 為 $n$ 位數。 由 $ab$ 是 $11$ 位數，得： $10^{10} \le ab < 10^{11} \implies 10 \le \log a + \log b < 11 \dots (1)$ 由 $\dfrac{a}{b}$ 的整數部分是 $2$ 位數，得： $10 \le \dfrac{a}{b} < 100 \implies 1 \le \log a - \log b < 2 \dots (2)$ 將 $(1)$、$(2)$ 兩式相加： $11 \le 2\log a < 13$ $5.5 \le \log a < 6.5$ 由於 $a$ 為正整數，$\log a$ 的範圍代表： - 當 $5.5 \le \log a < 6$ 時，$a$ 為 $6$ 位數。 - 當 $6 \le \log a < 6.5$ 時，$a$ 為 $7$ 位數。 故 $a$ 可能為 $6$ 位數或 $7$ 位數。 選 $(2)(3)$。