104指考數學乙多選第4題詳解

因為根據摩爾定律，電晶體數目每兩年增加一倍。已知初始值 $f(0)=1000$。 當 $t$ 以年為單位時，經過 $t$ 年後加倍次數為 $\frac{t}{2}$，所以 $$f(t)=1000\cdot 2^{t/2}=1000\cdot(\sqrt{2})^t$$ 因此選項 $(3)$ 正確；選項 $(1)$ 是線性增加，$f(t)=1000+\frac{1000}{2}t$，不能代表每兩年加倍。 當 $t$ 以月為單位時，$2$ 年為 $24$ 個月，故 $$f(t)=1000\cdot 2^{t/24}$$ 兩邊取常用對數得 $$\log f(t)=\log 1000+\log\left(2^{t/24}\right)=3+\dfrac{t}{24}\log 2=3+\dfrac{\log 2}{24}t$$ 因此選項 $(5)$ 正確；選項 $(2)$ 是線性增加，$f(t)=1000+\frac{1000}{24}t$，不能代表倍數成長。 選項 $(4)$ 為 $\log f(t)=3+\frac{\log\left(\frac{3t}{2}+1\right)}{2}$，不等於 $3+\frac{t}{2}\log 2$，故不正確。 綜合以上，正確選項為 $(3)(5)$。