108指考數學乙多選第6題詳解

設總款式數為 $10$。令甲、乙、丙收集的款式集合分別為 $A$、$B$、$C$，未收集的款式集合分別為 $A'$、$B'$、$C'$，則 $|A'| = 10 - |A|$，$|B'| = 10 - |B|$，$|C'| = 10 - |C|$。 選項 $(1)$：因為 $|A| = |B| = 6$，若兩人收集的款式完全重疊（即 $A = B$），則 $|A \cup B| = 6 < 10$，所以兩人合起來不一定會收集到全部 $10$ 款。本選項錯誤。 選項 $(2)$：因為 $|A| = |B| = 7$，且 $|A \cap B| = |A| + |B| - |A \cup B| = 14 - |A \cup B|$。又因為 $|A \cup B| \le 10$，所以 $|A \cap B| \ge 14 - 10 = 4$。本選項正確。 選項 $(3)$：因為 $|A| = |B| = |C| = 6$，所以 $|A'| = |B'| = |C'| = 4$。三人共有款式數 $|A \cap B \cap C| = 10 - |A' \cup B' \cup C'| \ge 10 - (4 + 4 + 4) = -2$，因為下界為負，所以可能為 $0$。例如 $A' = \{1,2,3,4\}$、$B' = \{5,6,7,8\}$、$C' = \{9,10,1,2\}$，此時沒有一款為三人共有。本選項錯誤。 選項 $(4)$：因為 $|A| = |B| = |C| = 7$，所以 $|A'| = |B'| = |C'| = 3$。$|A \cap B \cap C| \ge 10 - (3 + 3 + 3) = 1$，只保證至少 $1$ 款共有，不保證 $2$ 款。例如 $A' = \{1,2,3\}$、$B' = \{4,5,6\}$、$C' = \{7,8,9\}$，此時僅第 $10$ 款為三人共有。本選項錯誤。 選項 $(5)$：因為 $|A| = |B| = |C| = 8$，所以 $|A'| = |B'| = |C'| = 2$。$|A \cap B \cap C| \ge 10 - (2 + 2 + 2) = 4$。本選項正確。 故選 $(2)(5)$。