111分科測驗數學甲選填第10題詳解

五科卷子分別為國、英、數、社、自，在週一至週四每天至少發一科。 因為國文必須在週一，英文不能在週二， 所以先安排英文：可選週一、週三、週四，共 $3$ 種。 其餘數、社、自各可選 $4$ 天，初步得 $3 \times 4^3 = 192$ 種。 但此數包含週二、週三、週四有某天沒發卷的情形，須用排容原理扣除。 令 $T,W,R$ 分別表示週二、週三、週四沒有卷子的事件。 $|T|$：週二無卷，國文固定在週一，英文可選週一、週三、週四（$3$ 種）， 數社自各選週一、週三、週四（各 $3$ 種），共 $3 \times 3^3 = 81$。 $|W|$：週三無卷，國文在週一，英文可選週一、週四（$2$ 種）， 數社自各選週一、週二、週四（各 $3$ 種），共 $2 \times 3^3 = 54$。 同理 $|R| = 54$。 $|T\cap W|$：週二、三無卷，國文在週一，英文只能選週一或週四（$2$ 種）， 數社自各選週一、週四（各 $2$ 種），共 $2 \times 2^3 = 16$。 同理 $|T\cap R| = 16$。 $|W\cap R|$：週三、四無卷，國文在週一，英文只能選週一（$1$ 種）， 數社自各選週一、週二（各 $2$ 種），共 $1 \times 2^3 = 8$。 $|T\cap W\cap R|$：週二、三、四均無卷，全部卷子都在週一發，共 $1$ 種。 因此符合規定的安排數為 $$192 - (81+54+54) + (16+16+8) - 1 = 192 - 189 + 40 - 1 = 42.$$ 故填 $42$。