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112分科測驗數學甲選填第11題詳解

📅 112 年 📝 分科測驗數學甲 第 11 題 題型：選填 課綱：108課綱

答案與本題考點

答案：$1554$

本題考點：排列組合、排容原理、排列、組合與二項式定理、分類討論

題目

百貨公司舉辦父親節抽牌送獎品活動，牌卡為 $1,2,\ldots,9$，其中 $8$ 有兩張。抽出四張不放回並依序排成四位數；若大於 $6400$ 或含有兩個數字 $8$，即可獲獎。共有 $\text{____}$ 個四位數可獲獎。
排列組合排容原理排列、組合與二項式定理
解題手法分類討論〔AI 推測〕

答案

答案

$1554$

答案依 PDF 官方答案表；非選題答案表為斜線者，answer_from_source 留空。

詳解

詳解
1. 可用的數字為 $1,2,\ldots,9$，其中 $8$ 有兩張，共 $10$ 張牌。 抽出四張不放回並依序排成四位數。獲獎條件：大於 $6400$ 或含有兩個數字 $8$。 2. 先數「大於 $6400$」的四位數： - 千位為 $7$ 或 $9$：各 $357$ 種，合計 $714$ 種。 - 千位為 $8$：因還有一張 $8$ 可用，其餘三位共有 $504$ 種。 - 千位為 $6$：百位須為 $5,7,8,9$。 百位為 $5,7,9$ 時各有 $42$ 種， 百位為 $8$ 時有 $102$ 種， 共 $228$ 種。 所以大於 $6400$ 共有 $714+504+228=1446$ 種。 3. 再數「含兩個數字 $8$」的四位數： 先選兩個位置放 $8$，有 $C^4_2=6$ 種；其餘兩位從非 $8$ 的 $8$ 個數字中排列，有 $P(8,2)=56$ 種。 所以含兩個 $8$ 共有 $6\times56=336$ 種。 4. 計算同時滿足兩條件（大於 $6400$ 且含兩個 $8$）的四位數有 $228$ 種。 5. 因為依排容原理，可獲獎的四位數總數為 $$1446+336-228=1554.$$

題目來源：民國112年分科測驗數學甲 第11題（來源PDF第5頁）

資料版本：2026-07-17（commit e3f5a492）

校對狀態：人工抽查——本卷試題經人工抽樣檢查；非逐題逐字校對。

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引用本站：大考雷達站，〈112分科測驗數學甲選填第11題詳解〉，資料版本 2026-07-17，https://twmath.com/questions/112_0XA_q11.html

解析狀態：本解析由 AI 輔助產出，未經人工審核，非官方詳解，僅供學習參考。如與官方公告不同，請以官方公告為準。