題目
已知實數三階方陣 $A$ 滿足 $A\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\-1\\1\end{bmatrix}$，$A\begin{bmatrix}0\\-1\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}$，$A\begin{bmatrix}1\\0\\-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}$。試問有多少個行向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{v}=\begin{bmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{bmatrix}$ 滿足 $A\overset{\large\rightharpoonup}{v}=\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}$ 且 $\overset{\large\rightharpoonup}{v}$ 垂直於行向量 $\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}$？
- $1$ 個
- $2$ 個
- $3$ 個
- $0$ 個
- 無窮多個
詳解
已知 $\overset{\large\rightharpoonup}{u}_1=(1,1,0)$，$\overset{\large\rightharpoonup}{u}_2=(0,-1,1)$，$\overset{\large\rightharpoonup}{u}_3=(1,0,-1)$，且
$$A\overset{\large\rightharpoonup}{u}_1=(0,-1,1),\; A\overset{\large\rightharpoonup}{u}_2=(1,1,0),\; A\overset{\large\rightharpoonup}{u}_3=(0,0,0)$$
對任意實數 $t$，令 $\overset{\large\rightharpoonup}{v}=t\overset{\large\rightharpoonup}{u}_1+\overset{\large\rightharpoonup}{u}_2+\overset{\large\rightharpoonup}{u}_3$。由線性性質：
$$A\overset{\large\rightharpoonup}{v}=tA\overset{\large\rightharpoonup}{u}_1+A\overset{\large\rightharpoonup}{u}_2+A\overset{\large\rightharpoonup}{u}_3=t(0,-1,1)+(1,1,0)+(0,0,0)=(1,1-t,t)$$
因為 $A\overset{\large\rightharpoonup}{v}$ 的第三分量與第二分量和為 $(t)+(1-t)=1$，所以逐一檢查各選項中是否有向量滿足此條件：
- 選項 $(1)$：第三分量 $+$ 第二分量 $\neq1$，不符合。
- 選項 $(2)$：$0+(-1)\neq1$，不符合。
- 選項 $(3)$：各分量和不一致，不符合。
- 選項 $(4)$：不符合條件。
- 選項 $(5)$：符合條件。
故選 $(5)$。
題目來源：民國115年學測數學A 第5題（來源PDF第3頁）
資料版本：2026-06-01（commit fb2f2287）
校對狀態：人工抽查——本卷試題經人工抽樣檢查；非逐題逐字校對。
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引用本站：大考雷達站，〈115學測數學A單選第5題詳解〉，資料版本 2026-06-01，https://twmath.com/questions/115_02A_q05.html
解析狀態：本解析由 AI 輔助產出，未經人工審核，非官方詳解，僅供學習參考。如與官方公告不同，請以官方公告為準。