115 學測數學A 第 5 題

Question

已知實數三階方陣 $A$ 滿足 $A\begin{bmatrix}1\1\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\-1\1\end{bmatrix}$，$A\begin{bmatrix}0\-1\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\1\0\end{bmatrix}$，$A\begin{bmatrix}1\0\-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\0\0\end{bmatrix}$。試問有多少個行向量 $\overset{\largeightharpoonup}{v}=\begin{bmatrix}v_1\v_2\v_3\end{bmatrix}$ 滿足 $A\overset{\largeightharpoonup}{v}=\begin{bmatrix}1\0\1\end{bmatrix}$ 且 $\overset{\largeightharpoonup}{v}$ 垂直於行向量 $\begin{bmatrix}0\1\0\end{bmatrix}$？

Accepted Answer

答案：$(5)$
令 $u_1=(1,1,0)$，$u_2=(0,-1,1)$，$u_3=(1,0,-1)$。若 $v=u_1+u_2+t u_3$，則 $$Av=Au_1+Au_2+tAu_3=(0,-1,1)+(1,1,0)=(1,0,1)$$ 且 $v=(1+t,0,1-t)$，均與 $(0,1,0)$ 垂直。因此有無窮多個，選 $(5)$。