112學測數學A單選第5題詳解

1. 因為 $P,Q,R$ 在平面 $2x-3y+5z=\sqrt{7}$ 上，所以 $\overset{\large\rightharpoonup}{PQ}$ 與$\overset{\large\rightharpoonup}{PR}$ 皆與平面的法向量$\vec{n}=(2,-3,5)$ 垂直。 2. 因此 $\overset{\large\rightharpoonup}{PQ}\times\overset{\large\rightharpoonup}{PR}$ 平行於 $\vec{n}$，即存在 $\lambda$ 使得 $$\overset{\large\rightharpoonup}{PQ}\times\overset{\large\rightharpoonup}{PR}=\lambda(2,-3,5).$$ 3. 各選項的行列式可視為 $(a_1,b_1,c_1)\times(a_2,b_2,c_2)$ 與第三列向量的內積，其絕對值等於 $$\left|\det\begin{pmatrix}a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ u & v & w\end{pmatrix}\right|=|\lambda|\cdot|2u-3v+5w|.$$ 4. 比較各選項第三列與 $\vec{n}$ 的內積絕對值： - $(1)$ $(-1,1,1)$：$|2(-1)+(-3)(1)+5(1)|=0$ - $(2)$ $(1,-1,1)$：$|2(1)+(-3)(-1)+5(1)|=10$ ← 最大 - $(3)$ $(1,1,-1)$：$|2(1)+(-3)(1)+5(-1)|=6$ - $(4)$ $(-1,-1,1)$：$|2(-1)+(-3)(-1)+5(1)|=6$ - $(5)$ $(-1,-1,-1)$：$|2(-1)+(-3)(-1)+5(-1)|=4$ 故選 $(2)$。