112分科測驗數學甲多選第6題詳解

1. $\overset{\large\rightharpoonup}{u}=(a,b,0)$、$\overset{\large\rightharpoonup}{v}=(c,d,0)$ 都在 $xy$ 平面上，且 $\overset{\large\rightharpoonup}{w}=(r,s,t)$ 同時垂直於它們。 2. 若 $\overset{\large\rightharpoonup}{u}\cdot\overset{\large\rightharpoonup}{v}=0$，則兩非零向量互相垂直，在 $xy$ 平面上必線性獨立，因此 $ad-bc\ne0$，故 $(1)$ 正確。 即使 $t\ne0$，仍可能有 $\overset{\large\rightharpoonup}{u}=\overset{\large\rightharpoonup}{v}=(1,0,0)$、$\overset{\large\rightharpoonup}{w}=(0,0,1)$，此時 $ad-bc=0$，故 $(2)$ 錯誤。 3. 若另存在 $\overset{\large\rightharpoonup}{w'}$ 不平行於 $\overset{\large\rightharpoonup}{w}$ 且同時垂直於 $\overset{\large\rightharpoonup}{u},\overset{\large\rightharpoonup}{v}$，則共同垂直空間至少二維，$\overset{\large\rightharpoonup}{u},\overset{\large\rightharpoonup}{v}$ 張成的空間維度至多一維，得 $ad-bc=0$，故 $(3)$ 錯誤。 若任意 $(e,f,g)$ 都可寫成三向量的線性組合，則三向量張成 $\mathbb{R}^3$，$\overset{\large\rightharpoonup}{u},\overset{\large\rightharpoonup}{v}$ 必線性獨立，$ad-bc\ne0$，故 $(4)$ 正確。 4. $\det A=t(ad-bc)$。若 $ad-bc\ne0$，則 $\overset{\large\rightharpoonup}{u},\overset{\large\rightharpoonup}{v}$ 在 $xy$ 平面獨立，其共同垂直方向只能是 $z$ 軸方向；因為 $\overset{\large\rightharpoonup}{w}$ 非零，得 $t\ne0$，所以 $\det A\ne0$，故 $(5)$ 正確。 故選 $(1)(4)(5)$。