由恆等式 $|\overset{\large\rightharpoonup}{u}|^2|\overset{\large\rightharpoonup}{v}|^2=(\overset{\large\rightharpoonup}{u}\cdot\overset{\large\rightharpoonup}{v})^2+|\overset{\large\rightharpoonup}{u}\times\overset{\large\rightharpoonup}{v}|^2$，得 $|\overset{\large\rightharpoonup}{u}|^2|\overset{\large\rightharpoonup}{v}|^2=15+10=25$，所以 $|\overset{\large\rightharpoonup}{u}||\overset{\large\rightharpoonup}{v}|=5$。因此 $\cos\theta=\dfrac{\sqrt{15}}{5}<\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ 不成立，故 $(1)$ 錯。若 $\overset{\large\rightharpoonup}{u}=(1,0,-1)$，則 $\overset{\large\rightharpoonup}{u}\times\overset{\large\rightharpoonup}{v}$ 的第一與第三分量同為 $v_2$，不可能分別為 $-1$ 與 $3$，故 $(2)$ 錯。由 $|\overset{\large\rightharpoonup}{u}|+|\overset{\large\rightharpoonup}{v}|\ge 2\sqrt{|\overset{\large\rightharpoonup}{u}||\overset{\large\rightharpoonup}{v}|}=2\sqrt{5}$，故 $(3)$ 正確。固定非零 $\overset{\large\rightharpoonup}{v}$ 時，點積與外積可由向量恆等式唯一還原 $\overset{\large\rightharpoonup}{u}$，故 $(4)$ 正確。只知 $|\overset{\large\rightharpoonup}{u}|+|\overset{\large\rightharpoonup}{v}|$ 與乘積，通常只能決定兩長度的集合，不能唯一指定 $|\overset{\large\rightharpoonup}{v}|$，故 $(5)$ 錯。