113分科測驗數學甲多選第5題詳解

因為 $f(x)$ 為實係數多項式且 $f(-2-3i)=0$， 所以共軛複數 $-2+3i$ 也是根， 可設 $f(x)=a\bigl((x+2)^2+3^2\bigr)(x-r)=a(x^2+4x+13)(x-r)$。 因為 $f(x)$ 除以 $x^2+x-2=(x-1)(x+2)$ 的餘式為常數 $18$， 所以 $f(1)=18$ 且 $f(-2)=18$。 1. 由 $f(1)=a\cdot 18\cdot(1-r)=18$，得 $a(1-r)=1$。 2. 由 $f(-2)=a\cdot 9\cdot(-2-r)=18$，得 $a(-2-r)=2$。 兩式相減：$a(1-r)-a(-2-r)=1-2$，即 $3a=-1$，故 $a=-\frac{1}{3}$。 代回得 $1-r=-3$，所以 $r=4$。 因此 $f(x)=-\frac{1}{3}(x^2+4x+13)(x-4)$， 三次項係數為 $-\frac{1}{3}<0$； $f(x)=0$ 的根為 $-2\pm 3i$ 與 $4$，恰有一正實根 $4$。 $(1)$ 因為根是 $-2\pm 3i$，非 $2+3i$，所以 $f(2+3i)\neq 0$，錯誤。 $(2)$ 因為 $f(-2)=18$，正確。 $(3)$ 因為三次項係數為 $-\frac{1}{3}<0$，正確。 $(4)$ 因為 $f(x)=0$ 恰有一正實根 $4$，正確。 $(5)$ 因為 $y=f(x)$ 的對稱中心在 $x=0$ 處（$y$ 軸上），非第一象限，所以錯誤。 故選 $(2)(3)(4)$。