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113_0XA_q05
113 分科測驗數學甲 第 5 題
📅 113 年
📝 分科測驗數學甲
第 5 題
題型：多選
課綱：108課綱
設 $f(x)$ 為三次實係數多項式。已知 $f(-2-3i)=0$（其中 $i=\sqrt{-1}$），且 $f(x)$ 除以 $x^2+x-2$ 的餘式為 $18$。試選出正確的選項。
$f(2+3i)=0$
$f(-2)=18$
$f(x)$ 的三次項係數為負
$f(x)=0$ 恰有一正實根
$y=f(x)$ 圖形的對稱中心在第一象限
多項式
複數與應用
多項式函數與運算
複數平面與應用
解題手法
設未知數
〔AI 推測〕
答案
$(2)(3)(4)$
詳解
因 $f(x)$ 為實係數，$-2+3i$ 也是根。設 $f(x)=a((x+2)^2+9)(x-r)$。餘式為常數 $18$，故 $f(1)=18$ 且 $f(-2)=18$。由 $f(-2)=9a(-2-r)=18$ 得 $a(-2-r)=2$；由 $f(1)=18a(1-r)=18$ 得 $a(1-r)=1$。兩式相減得 $-3a=1$，所以 $a=-\dfrac{1}{3}$，進而 $r=4$。因此 $(2)$、$(3)$、$(4)$ 正確，$(1)$、$(5)$ 不正確。
題目來源：
大學入學考試中心公開試題。
解析狀態：
本解析由 AI 輔助產出，未經人工審核，非官方詳解，僅供學習參考。如與官方公告不同，請以官方公告為準。