108學測數學多選第12題詳解

設 $f_1(x) = q_1(x)g(x) + r_1(x)$，且 $\deg(r_1) < \deg(g) = 2$。\ 設 $f_2(x) = q_2(x)g(x) + r_2(x)$，且 $\deg(r_2) < \deg(g) = 2$。 (1) 正確：$-f_1(x) = -q_1(x)g(x) - r_1(x)$，因 $\deg(-r_1) < 2$，餘式仍為 $-r_1(x)$。 (2) 正確：$f_1(x) + f_2(x) = [q_1(x) + q_2(x)]g(x) + [r_1(x) + r_2(x)]$，因 $\deg(r_1 + r_2) < 2$，餘式為 $r_1(x) + r_2(x)$。 (3) 錯誤：$f_1(x)f_2(x) = g(x)[q_1(x)q_2(x)g(x) + q_1(x)r_2(x) + q_2(x)r_1(x)] + r_1(x)r_2(x)$。因為 $r_1(x)r_2(x)$ 的次數最高可達二次，需再除以二次式 $g(x)$ 的餘式才是乘積之餘式。 (4) 錯誤：$f_1(x) = \left(-\frac{1}{3}q_1(x)\right)[-3g(x)] + r_1(x)$，餘式不變仍為 $r_1(x)$。 (5) 正確：$f_1(x)r_2(x) - f_2(x)r_1(x) = [q_1(x)g(x) + r_1(x)]r_2(x) - [q_2(x)g(x) + r_2(x)]r_1(x) = g(x)[q_1(x)r_2(x) - q_2(x)r_1(x)]$，無餘數項，故可被 $g(x)$ 整除。 故選(1)(2)(5)。