113分科測驗數學甲多選第4題詳解

每次抽獎中獎機率 $p=\frac{1}{10}$，未中獎機率 $q=\frac{9}{10}$。 $(1)$ 因為首次中獎所需抽獎次數服從幾何分布， 所以期望值為 $\frac{1}{p}=10$，正確。 $(2)$ 因為兩次抽獎至少中獎一次的機率為 $1-q^2=1-0.9^2=1-0.81=0.19 \neq 0.2$， 所以錯誤。 $(3)$ 因為抽獎 $10$ 次皆未中獎的機率為 $q^{10}=0.9^{10}\approx 0.349$，大於一次中獎機率 $p=0.1$， 所以錯誤。 $(4)$ 存 $n$ 個代幣時，至少中獎一次的機率為 $1-q^n$。 因為 $1-0.9^n>0.9$ 即 $0.9^n<0.1$， 取對數得 $n\log 0.9<\log 0.1$， 所以 $n>\frac{-1}{\log 0.9}=\frac{-1}{2\log 3-1}\approx 21.85$， 最小正整數為 $22$，正確。 $(5)$ 因為無論存多少代幣，$1-q^n<1$ 恆成立， 中獎機率永遠小於 $1$，不可能保證中獎， 所以錯誤。 故選 $(1)(4)$。