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114分科測驗數學甲非選第13題詳解

📅 114 年 📝 分科測驗數學甲 第 13 題 題型：非選 課綱：108課綱

答案與本題考點

答案：$\dfrac{5}{2}$

本題考點：期望值、機率、公式代入

題目

題組
某商店以抽獎方式販售一熱門公仔，每次抽獎都互相獨立且抽中的機率為 $\dfrac{2}{5}$。方式一先付 $225$ 元得到兩次抽獎機會，若兩次皆未抽中，則再多付 $75$ 元得到一個公仔。方式二抽獎次數不限，每抽獎一次付 $100$ 元。
若以方式二抽獎直到抽中一個公仔為止，試依期望值定義，使用 $\Sigma$ 符號表示所需抽獎次數的期望值，並求其值。（非選擇題，$4$ 分）
期望值機率
解題手法公式代入〔AI 推測〕

答案

答案

$\dfrac{5}{2}$

詳解

詳解
設隨機變數 $X$ 為抽中前所需的抽獎次數。 因為每次抽中機率為 $p=\frac{2}{5}$，所以 $X$ 服從幾何分布： $$P(X=n)=\Bigl(\frac{3}{5}\Bigr)^{\,n-1}\cdot\frac{2}{5},\; n=1,2,3,\ldots$$ 幾何分布的期望值為 $E(X)=\frac{1}{p}$， 所以期望抽獎次數為 $\frac{1}{\frac{2}{5}}=\frac{5}{2}$。

題目來源：民國114年分科測驗數學甲 第13題（來源PDF第6頁）

資料版本：2026-06-29（commit 2a28ae7a）

校對狀態：人工抽查——本卷試題經人工抽樣檢查；非逐題逐字校對。

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引用本站：大考雷達站，〈114分科測驗數學甲非選第13題詳解〉，資料版本 2026-06-29，https://twmath.com/questions/114_0XA_q13.html

解析狀態：本解析由 AI 輔助產出，未經人工審核，非官方詳解，僅供學習參考。如與官方公告不同，請以官方公告為準。