112 學測數學A 第 6 題

Question

坐標空間中，考慮邊長為 $1$ 的正立方體，固定一頂點 $O$。從 $O$ 以外的七個頂點隨機選取相異兩點，設此兩點為 $P,Q$，試問所得的內積 $\overset{\large\rightharpoonup}{OP}\cdot \overset{\large\rightharpoonup}{OQ}$ 之期望值為下列哪一個選項？

Accepted Answer

答案：$(3)$
逐座標計算兩個不同非零頂點向量同時在同一座標為 $1$ 的平均次數，期望值為 $\dfrac{6}{7}$。