113學測數學A多選第9題詳解

由迴歸直線求平均與標準差：$\bar{y}_A=2(5.2)-0.6=9.8$，$\bar{y}_B=1.5(6)+0.4=9.4$。由 $b=r\cdot\frac{s_y}{s_x}$ 得 $s_{y_A}=\frac{2\times0.3}{0.6}=1$，$s_{y_B}=\frac{1.5\times0.1}{0.3}=0.5$。 選項 $(1)$：因為 $9.8>9.4$，所以 $\bar{y}_A>\bar{y}_B$。$(1)$ 錯誤。 選項 $(2)$：因為 $s_{y_A}=1>0.5=s_{y_B}$，所以 $(2)$ 錯誤。 選項 $(3)$：因為 $|8.6-9.8|=1.2>1=s_{y_A}$，所以 $(3)$ 正確。 選項 $(4)$：兩直線為 $2x-y-0.6=0$ 與 $1.5x-y+0.4=0$。到 $L_A$ 的距離為 $\frac{|2(5.6)-8.6-0.6|}{\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}$，到 $L_B$ 的距離為 $\frac{|1.5(5.6)-8.6+0.4|}{\sqrt{3.25}}=\frac{0.2}{\sqrt{3.25}}$。因為 $\frac{2}{\sqrt{5}}>\frac{2}{3}>\frac{1}{8}>\frac{0.2}{\sqrt{3.25}}$，前者較大，所以 $(4)$ 錯誤。 選項 $(5)$：到 $(\bar{x}_A,\bar{y}_A)$ 的距離平方為 $(5.6-5.2)^2+(8.6-9.8)^2=1.6$，到 $(\bar{x}_B,\bar{y}_B)$ 的距離平方為 $(5.6-6)^2+(8.6-9.4)^2=0.8$。因為前者較大，所以 $(5)$ 錯誤。 故選 $(3)$。