113 學測數學A 第 9 題

Question

某實驗室蒐集了大量的 $A$、$B$ 兩相似物種，記錄其身長為 $x$（單位：公分）與體重 $y$（單位：公克），得 $A$、$B$ 兩物種的平均身長分別為 $\overline{x}_A=5.2$、$\overline{x}_B=6$，標準差分別為 $0.3$、$0.1$。令 $A$、$B$ 兩物種的平均體重分別為 $\overline{y}_A$、$\overline{y}_B$。若 $A$、$B$ 兩物種其體重 $y$ 對身長 $x$ 的迴歸直線分別為 $L_A:y=2x-0.6$、$L_B:y=1.5x+0.4$，相關係數分別為 $0.6$、$0.3$。今發現一隻身長 $5.6$ 公分、體重 $8.6$ 公克的個體 $P$，試選出正確的選項。

Accepted Answer

答案：$(3)$
迴歸線通過平均點，所以 $\overline{y}_A=2(5.2)-0.6=9.8$，$\overline{y}_B=1.5(6)+0.4=9.4$。由迴歸斜率 $b=r\dfrac{s_y}{s_x}$，得 $A$ 物種體重標準差為 $\dfrac{2\cdot 0.3}{0.6}=1$，$B$ 物種體重標準差為 $\dfrac{1.5\cdot 0.1}{0.3}=0.5$。個體 $P$ 對 $A$ 的體重差為 $|8.6-9.8|=1.2>1$，故選項 $(3)$ 正確，其餘不成立。