115學測數學B多選第10題詳解

$B$ 濃度 $=0.5\times A$ 濃度。已知 $A$ 濃度的變異數 $225$，$A$ 濃度對身長的迴歸直線斜率 $0.75$，身長標準差 $10$，平均身長 $65$，平均 $A$ 濃度 $50$。 選項 $(1)$：因為 $A$ 濃度的標準差為 $\sqrt{225}=15$，而 $B=0.5A$，所以 $B$ 的標準差為 $0.5\times15=7.5=\frac{15}{2}$。$(1)$ 正確。 選項 $(2)$：因為 $B$ 與 $A$ 為完全線性關係（$B=0.5A$），所以相關係數為 $1$。$(2)$ 錯誤。 選項 $(3)$：$B$ 對身長的迴歸直線斜率 $=r_{B,\text{身長}}\cdot\frac{s_B}{s_{\text{身長}}}$。因為 $B=0.5A$，所以 $r_{B,\text{身長}}=r_{A,\text{身長}}$。又 $r_{A,\text{身長}}=0.75\cdot\frac{10}{15}=0.5$。因此斜率 $=0.5\times\frac{7.5}{10}=0.375=\frac{3}{8}\neq\frac{9}{16}$。$(3)$ 錯誤。 選項 $(4)$：因為迴歸直線通過平均點 $(\overline{x},\overline{y})=(65,50)$，所以身長 $65$ 時預測 $A$ 濃度為 $50$。$(4)$ 正確。 選項 $(5)$：因為 $B$ 對身長的迴歸直線斜率為 $0.375\neq0.75$，所以 $(5)$ 錯誤。 故選 $(1)(4)$。