115學測數學B多選第11題詳解

大、小燈罩皆為直圓錐面，軸線相同，燈源在頂點。地面與軸線夾角固定。大燈罩半頂角大於小燈罩半頂角。 1. 因為截線型態由地面與軸線的夾角 $\theta$ 與圓錐半頂角 $\alpha$ 的關係決定，所以： - 若 $\theta>\alpha$，截線為橢圓。 - 若 $\theta=\alpha$，截線為拋物線。 - 若 $\theta<\alpha$，截線為雙曲線。 2. 設固定夾角為 $\theta$，大燈罩半頂角為 $\alpha_1$，小燈罩半頂角為 $\alpha_2$。因為燈泡在頂點且大燈罩較闊，所以 $\alpha_1>\alpha_2$。 3. 逐項分析各選項： - 選項 $(1)$：若 $\Gamma$ 為橢圓，則 $\theta>\alpha_1>\alpha_2$。因為 $\theta>\alpha_2$，所以 $\gamma$ 也為橢圓，不一定是雙曲線。$(1)$ 錯誤。 - 選項 $(2)$：若 $\Gamma$ 為拋物線，則 $\theta=\alpha_1>\alpha_2$。因為 $\theta>\alpha_2$，所以 $\gamma$ 為橢圓。$(2)$ 正確。 - 選項 $(3)$：若 $\Gamma$ 為雙曲線，則 $\theta<\alpha_1$。因為 $\theta$ 與 $\alpha_2$ 的關係無法確定（可能 $\theta>\alpha_2$、$\theta=\alpha_2$ 或 $\theta<\alpha_2$），所以無法確定 $\gamma$ 的型態。$(3)$ 錯誤。 - 選項 $(4)$：若 $\gamma$ 為橢圓，則 $\theta>\alpha_2$。因為 $\theta$ 與 $\alpha_1$ 的關係無法確定，所以無法確定 $\Gamma$ 的型態。$(4)$ 錯誤。 - 選項 $(5)$：若 $\gamma$ 為雙曲線，則 $\theta<\alpha_2$。因為 $\alpha_2<\alpha_1$，所以 $\theta<\alpha_1$，因此 $\Gamma$ 為雙曲線。$(5)$ 正確。 故選 $(2)(5)$。