115 學測數學B 第 12 題

Question

有兩容器，$A$ 瓶內有含糖 $100$ 公克的紅茶 $1000$ 毫升，$B$ 瓶內有不含糖的紅茶 $500$ 毫升。用以下方式稀釋 $A$ 瓶的甜度：將 $A$ 瓶混合均勻後，倒出 $500$ 毫升至 $B$ 瓶，再將 $B$ 瓶混合均勻後，倒 $500$ 毫升回 $A$ 瓶，稱此為一次稀釋。重複此稀釋動作，令第 $n$ 次稀釋完，$A$ 瓶的含糖量為 $a_n$ 公克。試選出正確的選項。

Accepted Answer

答案：$(1)(3)(4)$
一次稀釋時，$A$ 先留下 $\dfrac12a_n$，$B$ 混合後回倒的糖量為 $\dfrac12\left(100-\dfrac12a_n\right)$，故 $a_{n+1}=\dfrac12a_n+\dfrac12\left(100-\dfrac12a_n\right)=50+\dfrac14a_n$。因此 $a_1=75$，且令 $c=\dfrac{200}{3}$，則 $a_{n+1}-c=\dfrac14(a_n-c)$。極限為 $\dfrac{200}{3}>60$，故 $(5)$ 錯。