115學測數學B單選第5題詳解

第一次投注 $N$ 元。每次先將前次金額增加一半設為預定金額；若預定金額大於 $2N$，則將預定金額減半投注，否則以預定金額投注。 1. 依序計算各次投注金額： 第 $1$ 次：$N$。 第 $2$ 次：因為預定 $\frac{3}{2}N\le2N$，所以投注 $\frac{3}{2}N$。 第 $3$ 次：因為預定 $\frac{3}{2}\times\frac{3}{2}N=\frac{9}{4}N>2N$，所以投注 $\frac{9}{8}N$。 第 $4$ 次：因為預定 $\frac{3}{2}\times\frac{9}{8}N=\frac{27}{16}N\le2N$（$\frac{27}{16}<2$），所以投注 $\frac{27}{16}N$。 2. 繼續計算： 第 $5$ 次：預定 $\frac{3}{2}\times\frac{27}{16}N=\frac{81}{32}N$。因為 $\frac{81}{32}>2$，所以投注 $\frac{81}{64}N$。 第 $6$ 次：預定 $\frac{3}{2}\times\frac{81}{64}N=\frac{243}{128}N$。因為 $\frac{243}{128}<2$，所以投注 $\frac{243}{128}N$。 第 $7$ 次：預定 $\frac{3}{2}\times\frac{243}{128}N=\frac{729}{256}N$。因為 $\frac{729}{256}>2$，所以投注 $\frac{729}{512}N=\frac{3^6}{2^9}N$。 故選 $(3)$。