113 學測數學A 第 8 題

Question

對任一正整數 $n\ge 2$，令 $T_n$ 表示邊長為 $n,n+1,n+2$ 的三角形。試選出正確的選項。（註：若三角形的三邊長分別為 $a,b,c$，令 $s=\dfrac{a+b+c}{2}$，則三角形面積為 $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$）

Accepted Answer

答案：$(2)(3)$
$T_n$ 的周長為 $n+(n+1)+(n+2)=3n+3$，所以 $T_2$ 到 $T_{10}$ 的周長形成等差數列。又由海龍公式可得面積平方為 $\dfrac{(3n+3)(n+3)(n+1)(n-1)}{16}$，對 $n\ge 2$ 隨 $n$ 增加而增大。$T_2$ 不是銳角三角形，$T_5$ 的三高不成等差數列，且 $T_3$ 的最大角小於 $T_2$ 的最大角，故選 $(2)(3)$。