113學測數學A多選第7題詳解

$\Gamma:y=\log x$，定義域 $x>0$。 選項 $(1)$：$y+\frac{1}{2}=\log(5x)=\log5+\log x$，即 $y=\log x+\log5-\frac{1}{2}$。因為 $\log5>\log\sqrt{10}=\frac{1}{2}$，平移量非零，所以圖形與 $\Gamma$ 不同。$(1)$ 錯誤。 選項 $(2)$：$2y=\log(x^2)$。因為 $x^2>0$ 的條件為 $x\neq0$，定義域包含 $x<0$（多出 $y$ 軸左側的一支），所以與 $\Gamma$ 不同。$(2)$ 錯誤。 選項 $(3)$：$3y=\log(x^3)$。因為 $x^3>0\iff x>0$，定義域相同；且 $\log(x^3)=3\log x$，兩邊除以 $3$ 得 $y=\log x$，所以圖形完全相同。$(3)$ 正確。 選項 $(4)$：因為 $x=10^y$ 與 $y=\log x$ 互為等價關係，定義域 $x>0$，所以圖形完全相同。$(4)$ 正確。 選項 $(5)$：$x^3=10^{y^3}$，取對數得 $3\log x=y^3$，即 $y=\sqrt[3]{3\log x}$。因為 $x=10$ 時前者得 $\sqrt[3]{3}$、後者得 $1$，兩者不同，所以 $(5)$ 錯誤。 故選 $(3)(4)$。