99指考數學乙多選第4題詳解

逐一檢查各選項： 選項 $(1)$：當 $x=0$ 時，$2010^0=99^0=1$，兩圖形交於 $(0,1)$。因為在 $x<0$ 時 $2010^x<99^x$，所以 $y=2010^x$ 並非恆在 $y=99^x$ 的上方，$(1)$ 錯誤。 選項 $(2)$：因為 $y=\log_{99}x$ 與 $y=99^x$ 互為反函數，所以兩函數的圖形對稱於直線 $y=x$，$(2)$ 正確。 選項 $(3)$：因為 $\log_{\frac{1}{99}}x=-\log_{99}x$，所以 $y=\log_{\frac{1}{99}}x$ 的圖形是將 $y=\log_{99}x$ 對 $x$ 軸鏡射，$(3)$ 正確。 選項 $(4)$：令 $y=0$ 得 $\log_{2010}(x^2-10x+33)=0$，即 $x^2-10x+33=1$，化簡為 $x^2-10x+32=0$。因為判別式 $(-10)^2-4\cdot 1\cdot 32=100-128=-28<0$，所以無實數解，圖形與 $x$ 軸沒有交點，$(4)$ 錯誤。 故選 $(2)(3)$。