113 學測數學A 第 6 題

Question

在同一平面上，相距 $7$ 公里的 $A,B$ 兩砲台，$A$ 在 $B$ 的正東方。某次演習時，$A$ 向西偏北 $	heta$ 方向發射砲彈，$B$ 則向東偏北 $	heta$ 方向發射砲彈，其中 $	heta$ 為銳角，觀測回報兩砲彈皆命中 $9$ 公里外的同一目標 $P$。接著 $A$ 改向西偏北 $\dfrac{	heta}{2}$ 方向發射砲彈，彈著點為 $9$ 公里外的點 $Q$。試問砲台 $B$ 與彈著點 $Q$ 的距離 $\overline{BQ}$ 為何？

Accepted Answer

答案：$(3)$
令 $B=(0,0)$、$A=(7,0)$。第一次兩彈同達 $P$ 且 $AP=BP=9$，由水平位移得 $18\cos	heta=7$，所以 $\cos	heta=\dfrac{7}{18}$。第二次 $Q=\left(7-9\cos\dfrac{	heta}{2},9\sin\dfrac{	heta}{2}ight)$。由半角公式 $\cos\dfrac{	heta}{2}=\sqrt{\dfrac{1+\cos	heta}{2}}=\dfrac{5}{6}$，故 $BQ^2=\left(7-9\cdot\dfrac{5}{6}ight)^2+\left(9\sin\d…