113學測數學A單選第5題詳解

1. 因為每組各有 $25$ 個數，中位數是由小到大的第 $13$ 個，所以每組的中位數兩側各有 $12$ 個數。 2. 設甲組中位數為 $m$，則乙組中位數為 $m+1$。因為 $m$ 屬於甲組，所以 $m$ 不在乙組中；乙組中小於 $m+1$ 的數，就是乙組中小於 $m$ 的數。 3. 因為全體小於 $m$ 的數共 $m-1$ 個，其中 $12$ 個在甲組，所以乙組中小於 $m$ 的有 $m-13$ 個；又這個數必須等於 $12$，所以 $m=25$。 4. 因此甲組中位數為 $25$、乙組中位數為 $26$，且 $25$ 必在甲組、$26$ 必在乙組。 5. 因為甲組除了 $25$ 之外，還要從小於 $25$ 的 $\{1,2,\ldots,24\}$ 中取 $12$ 個，以及從大於 $26$ 的 $\{27,28,\ldots,50\}$ 中取 $12$ 個（$26$ 已歸乙組），而這兩個集合各有 $24$ 個數，所以分法數為 $$C^{24}_{12}\times C^{24}_{12}=\left(C^{24}_{12}\right)^2.$$ 故選 $(4)$。