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114學測數學A多選第12題詳解

📅 114 年 📝 學測數學A 第 12 題 題型：多選 課綱：108課綱

答案與本題考點

答案：$(1)(3)(4)(5)$

本題考點：變異數與標準差、迴歸直線、數據分析、公式代入

題目

某種合金由甲和乙兩種金屬組成，某生想知道其中金屬比例與合金的波長關係。他做實驗測量「甲占比為 $x\%$ 的合金所對應的波長 $y$（單位：奈米）」，並將得到的 $20$ 筆數據 $(x_k,y_k)$，$k=1,\ldots,20$，在 $xy$ 平面上標出，其迴歸直線為 $y=21.3x-40$。為符合投稿規範，須將報告描述為「乙占比為 $u\%$ 的合金所對應的波長 $v$（單位：微米）」，他將數據 $(x_k,y_k)$ 轉換為 $(u_k,v_k)$，得到在 $uv$ 平面的迴歸直線為 $v=au+b$。已知 $1$ 奈米 $=10^{-9}$ 公尺，$1$ 微米 $=10^{-6}$ 公尺。試選出正確的選項。
  1. $u_k=100-x_k$，$k=1,\ldots,20$
  2. $v_k=1000y_k$，$k=1,\ldots,20$
  3. $u_1,u_2,\ldots,u_{20}$ 的標準差等於 $x_1,x_2,\ldots,x_{20}$ 的標準差
  4. $b=2.09$
  5. 某生發現有另一筆數據 $(u_{21},v_{21})$，且滿足 $v_{21}=au_{21}+b$；若將這 $21$ 筆數據標出，則其迴歸直線仍為 $v=au+b$
變異數與標準差迴歸直線數據分析
解題手法公式代入〔AI 推測〕

答案

答案

$(1)(3)(4)(5)$

詳解

詳解
原迴歸直線 $y=21.3x-40$。轉換為乙占比 $u\%$ 與波長 $v$（微米）。$1$ 微米 $=1000$ 奈米。 選項 $(1)$：因為 $u_k=100-x_k$（甲乙占比和為 $100\%$），所以 $(1)$ 正確。 選項 $(2)$：因為 $1$ 奈米 $=10^{-3}$ 微米，所以 $v_k=\frac{y_k}{1000}\neq1000y_k$。$(2)$ 錯誤。 選項 $(3)$：因為 $u=100-x$，反號不改變標準差（$\sigma_u=|-1|\sigma_x$），所以 $(3)$ 正確。 選項 $(4)$：$x=100-u$，$y=1000v$ 代入：$1000v=21.3(100-u)-40=2090-21.3u$，$v=2.09-0.0213u$，所以 $b=2.09$。$(4)$ 正確。 選項 $(5)$：因為新增點落在原迴歸線上（殘差為 $0$），最小平方法解不變，所以 $(5)$ 正確。 故選 $(1)(3)(4)(5)$。

題目來源：民國114年學測數學A 第12題（來源PDF第5頁）

資料版本：2026-06-29（commit 2a28ae7a）

校對狀態：人工抽查——本卷試題經人工抽樣檢查；非逐題逐字校對。

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引用本站：大考雷達站，〈114學測數學A多選第12題詳解〉，資料版本 2026-06-29，https://twmath.com/questions/114_02A_q12.html

解析狀態：本解析由 AI 輔助產出，未經人工審核，非官方詳解，僅供學習參考。如與官方公告不同，請以官方公告為準。